Циклическая группа - группа, которая является собственной циклической подгруппой . В примере 5.7 группа G имеет циклическую подгруппу H 5 = G . Это означает, что группа G - циклическая группа. В этом случае элемент, который генерирует циклическую подгруппу, может также генерировать саму группу. Этот элемент далее именуется "генератор". Если g - генератор, элементы в конечной циклической группе могут быть записаны как

{e,g,g 2 ,….., g n-1 } , где g n = e .

Заметим, что циклическая группа может иметь много генераторов.

Пример 5.9

а. Группа G = - циклическая группа с двумя генераторами, g = 1 и g = 5 .

б. Группа - циклическая группа с двумя генераторами, g = 3 и g = 7 .

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа показывает отношение между порядком группы к порядку ее подгруппы. Предположим, что G - группа и H - подгруппа G . Если порядок G и H - |G| и |H| , соответственно, то согласно этой теореме |H| делит |G| . В примере 5.7 |G| = 6 . Порядок подгруппы - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 и |H4| = 6 . Очевидно, все эти порядки есть делители 6 .

Теорема Лагранжа имеет очень интересное приложение. Когда дана группа G и ее порядок |G| , могут быть легко определены порядки потенциальных подгрупп , если могут быть найдены делители. Например, порядок группы G = - это |17| . Делители 17 есть 1 и 17 . Это означает, что эта группа может иметь только две подгруппы - нейтральный элемент и H 2 = G .

Порядок элемента

Порядок элемента в группе ord (a) (порядок (a)) является наименьшим целым числом n , таким, что a n = e . Иными словами: порядок элемента - порядок группы, которую он генерирует.

Пример 5.10

a. В группе G = , порядки элементов: порядок ord(0) = 1 , порядок ord (1) = 6 , порядок ord (2) = 3 , порядок ord (3) = 2 , порядок ord (4) = 3 , порядок ord (5) = 6 .

b. В группе G = , порядки элементов: порядок ord (1) = 1 , порядок ord (3) = 4 , порядок ord (7) =4 , порядок (9) = 2 .

Рассмотрим мультипликативную группу всех целых степеней двойки (2Z, ), где 2Z= {2 n | п е Z}. Аналогом этой группы на аддитивном языке является аддитивная группа четных целых чисел (2Z, +), 2Z = {2n | п е Z}. Дадим общее определение групп, частными примерами которых являются данные группы.

Определение 1.8. Мультипликативная группа (G, ) (аддитивная группа (G, +)) называется циклической, если она состоит из всех целых степеней (соответственно, всех целых кратных) одного элемента а е G, т.е. G = {а п | п е Z} (соответственно, G - {па | п е Z}). Обозначение: (а), читается: циклическая группа, порожденная элементом а.

Рассмотрим примеры.

1. Примером мультипликативной бесконечной циклической группы может служить группа всех целых степеней некоторого фиксированного целого числа а Ф ±1, она обозначается а г. Таким образом, а г - {а).
2. Примером мультипликативной конечной циклической группы является группа С„ корней n-й степени из единицы. Напомним, что корни n-й степени из единицы находятся

по формуле e k = cos---hisin^-, где к = 0, 1, ..., п - 1. Следо- п п

вательно, С„ =(е х)= {е х = 1, е х, ef = е 2 ,..., е" -1 = ?„_ х }. Вспомним, что комплексные числа е к, к = 1, ..., п - 1, изображаются точками единичной окружности, которые делят ее на п равных частей.

3. Характерным примером аддитивной бесконечной циклической группы является аддитивная группа целых чисел Z, она порождается числом 1, т.е. Z = (1). Геометрически она изображается в виде целых точек числовой прямой. По существу так же изображается мультипликативная группа 2 7 - = (2), в общем случае a z = (а), где целое число а Ф ±1 (см. рис. 1.3). Это сходство изображений мы обсудим в параграфе 1.6.
4. Выберем в произвольной мультипликативной группе G некоторый элемент а. Тогда все целые степени этого элемента образуют циклическую подгруппу (а) = {а п п е Z} G.
5. Докажем, что аддитивная группа рациональных чисел Q сама не циклическая, а любые два ее элемента лежат в циклической подгруппе.

А. Докажем, что аддитивная группа Q не циклическая. Предположим противное: пусть Q = (-). Существует целое число Ь,

не делящее т. Поскольку - eQ = (-) = sn-|neZ>, то суще-

Ъ т/ { т J

ствует целое число гс 0 , такое что - = п 0 -. Но тогда т = n 0 kb,

откуда т:Ъ - пришли к противоречию.

Б. Докажем, что два произвольных рациональных числа -

с „ /1

и - принадлежат циклической подгруппе (-), где т есть наи- d т/

меньшее общее кратное чисел b и d. В самом деле, пусть т-Ьи

, а аи 1 /1 с cv 1 /1

и m = av, u, v е Z,тогда - = - = аи -е(-)и - = - = cv- е (-).

b Ьи т т/ a dv т т/

Теорема 1.3. Порядок циклической группы равен порядку порождающего элемента этой группы, т.е. |(а)| = |а|.

Доказательство. 1. Пусть |а| = «>. Докажем, что все натуральные степени элемента а различны. Предположим противное: пусть а к = а т и 0 к Тогда т - к - натуральное число и а т ~ к = е. Но это противоречит тому, что | а =°°. Таким образом, все натуральные степени элемента а различны, откуда следует бесконечность группы (а). Следовательно, | (а)| = °° = |а |.

2. Пусть | а | = п. Докажем, что (а) = {е - а 0 , а, а 2 , ..., а" -1 }. Из определения циклической группы вытекает включение {а 0 , а, а 2 , ..., o" 1-1 } с (а). Докажем обратное включение. Произвольный элемент циклической группы (а) имеет вид а т, где те Z. Разделим шнапс остатком: m-nq + r, где 0 п. Поскольку а п = е, то а т = а п я +г = а п ч? а г = а г е {а 0 , а, а 2 , ..., а"- 1 }. Отсюда (а) с {а 0 , а, а 2 ,..., Таким образом, (а) = {а 0 , а, а 2 ,..., а" -1 }.

Остается доказать, что все элементы множества {а 0 , а, а 2 , ..., а” -1 } различны. Предположим противное: пусть 0 i п, но а" = а). Тогда оН - е и 0 j - i - пришли к противоречию с условием | а | = п. Теорема доказана.

Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной , если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком . Любая подгруппа конечной группы конечна. И если Н ÍG – подгруппа группы G , то для любого элемента а ÎG множество Н а ={х : x =h ◦a , для любых h ÎH } называется левым классом смежности для G относительно Н . Понятно, что число элементов в Н а равно порядку Н . (Аналогично можно сформулировать определение а Н – правого класса смежности относительно Н ).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н .

Действительно, если два класса Н a и H b , где a , b ÎG , имеют общий элемент х , то существует t ÎH такое, что x = t ◦a . И тогда левый класс для х : Н х ={y : y =h ◦x = h ◦(t ◦a ) = (h ◦t )◦a } ÍH a , но a = t ‑1 ◦x и Н a ={y : y =h ◦a = h ◦(t ‑1 ◦x ) = (h ◦t ‑1)◦x } ÍH x . Отсюда Н х = Н a . Аналогично можно показать, что Н х = Н b . И, следовательно, Н a = Н b . Если же классы Н a и H b не имеют общих элементов, то они и не пересекаются.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н .

Теорема 2.6.1. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н . В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково и равно порядку Н . Поэтому, если n – порядок группы G , а k – порядок подгруппы Н , то n =m ×k , где m – число классов смежности по Н в разложении группы G .

Если для любого элемента a ÎG Þ Н a = а Н (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G .

Утверждение : если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G .

Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о «произведении» трех элементов (а ◦b ◦c ) =(а ◦b )◦c = а ◦(b ◦c ). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а 1 ◦а 2 ◦…◦а n = ◦ а n = = ◦.

Произведение n одинаковых элементов группы называется степенью элемента и обозначается a n =. Это определение имеет смысл для любого натурального n . Для любого элемента группы a ÎG обозначают а 0 =е – нейтральный элемент группы G . А отрицательные степени элемента a ‑ n определяют как (a ‑1) n или (a n ) ‑1 , где a ‑1 – обратный элемент к а . Оба определения a ‑ n совпадают, т.к. a n ◦(a ‑1) n = (а ◦а ◦ ¼◦а )◦(a ‑1 ◦a ‑1 ◦ ¼◦a ‑1) = а ◦а ◦¼◦(а ◦a ‑1)◦a ‑1 ◦¼◦a ‑1 =е n =e . Таким образом, (a ‑1) n = (a n ) ‑1 .

В аддитивной группе аналогом степени элемента a n будет n ‑кратное к нему, обозначаемое обычно na , которое не стоит воспринимать как произведение n на а , поскольку n Îℕ и, возможно, n ÏG . Т.о. na ⇋, где n Îℕ, и 0а =е ⇋0, и (‑n )a = ‑(na ) = n (‑a ) для любого натурального n , где (‑a ) – обратный к a ÎG .

Легко показать, что при выбранных обозначениях для любых целых чисел m и n и для любого a ÎG выполняются известные свойства: а ) при мультипликативной записи a n ◦a m = a n + m и (a n ) m = a nm ; б ) при аддитивной записи na +ma = (n +m )a и n (ma )=(nm )a .

Рассмотрим подмножество группы G , составленное из всех степеней произвольного элемента g ÎG . Обозначим его А g . Таким образом, А g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g ‑2 ,¼}. Очевидно, А g является подгруппой группы G , т.к. для любых элементов х ,у ÎА g следует, что (х ◦у )ÎА g , и для любого элемента х ÎА g найдется х ‑1 ÎА g , кроме того, g 0 =е ÎА g .

Подгруппа А g называется циклической подгруппой группы G , порожденной элементом g . Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой , порожденной элементом g .

Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка .

Если среди элементов циклической группы имеются равные, например, g k =g m при k >m , то g k ‑ m =e ; и, обозначив k-m через n , получим g n =e , n Îℕ.

Наименьший натуральный показатель n такой, что g n =e , называется порядком элемента g , а сам элемент g называется элементом конечного порядка .

Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.

Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими .

Так как любой элемент конечной группы имеет конечный порядок, то все конечные группы являются периодическими. Кроме того, периодическими являются все циклические подгруппы конечной группы, поскольку они конечны, и каждый элемент конечного порядка n порождает циклическую группу того же порядка n , состоящую из элементов {g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 }. Действительно, если бы число элементов было бы равно некоторому k <n , тогда g k =e =g n , что противоречит выбору n , как наименьшей степени такой, что g n =e ; с другой стороны, k >n также невозможно, т.к. в этом случае имелись бы одинаковые элементы.

Утверждение : 1) все степени g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 различны, т.к. если бы имелись равные, например, g i =g j (i >j ), то g i ‑ j =e , но (i ‑j )<n , а по определению n – наименьшая степень такая, что g n =e .

2) Всякая другая степень g , положительная или отрицательная, равна одному из элементов g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 , т.к. любое целое число k можно представить выражением: k =nq +r , где q ,r Îℤ и 0£r <n , r – остаток и g k =g nq + r = g nq ° g r = (g n ) q ° g r = e q ° g r = g r .

1) Всякая группа обладает единственным элементом первого порядка {e }, порождающим циклическую подгруппу первого порядка, состоящую из одного элемента е .

2) Рассмотрим группу подстановок S 3 , состоящую из элементов: , , , , , . Порядок S 3 =6. Порядок элемента а равен 2, т.к. . Порядок элемента b также равен 2, т.к. . Порядок элемента с равен 3, т.к. и . Порядок элемента f также равен 3, т.к. и . И, наконец, порядок d равен 2, т.к. . Тем самым, циклические подгруппы S 3 , порожденные элементами e , a , b , d , c и f , соответственно равны: {e }, {e , a }, {e , b }, {e , d }, {e , c , f } и {e , f , c }, где последние две совпадают. Заметим также, что порядок каждой циклической подгруппы делит порядок группы без остатка. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.1. (Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента (т.к. порядок элемента и порядок циклической подгруппы, порожденной им, совпадают).

Отсюда также следует, что любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу группы. (Т.к. g m =g nk =e k =e , где m – порядок группы, n – порядок элемента g , k – целое число).

В группе S 3 подгруппа Н ={e , c , f } является нормальным делителем, а подгруппы 2‑го порядка нормальными делителями не являются. Это легко проверить, найдя левый и правый классы смежности по Н для каждого элемента группы. Например, для элемента а левый класс смежности Н а ={е ◦ а , с ◦ а , f ◦ a } = {а , b , d } и правый класс смежности а Н ={а ◦ е , а ◦ c , а ◦ f } = {а , d , b } совпадают. Аналогично для всех остальных элементов S 3 .

3) Множество всех целых чисел со сложением образует бесконечную циклическую группу с порождающим элементом 1 (или –1), т.к. любое целое число кратно 1.

4) Рассмотрим множество корней n ‑ой степени из единицы: Е n =. Это множество является группой относительно операции умножения корней. Действительно, произведение любых двух элементов e k и e m из E n , где k , m £ n ‑1, также будет элементом E n , поскольку = = , где r =(k+m ) mod n и r £ n ‑1; умножение ассоциативно, нейтральный элемент е =e 0 =1 и для любого элемента e k имеется обратный и . Эта группа циклическая, её порождающим элементом является первообразный корень . Нетрудно видеть, что различными являются все степени: , далее для k ³n корни начинают повторяться. На комплексной плоскости корни расположены на окружности единичного радиуса и делят её на n равных дуг, как показано на рисунке 11.

Последними двумя примерами исчерпываются по существу все циклические группы. Поскольку справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.2. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть (G , ∘) – бесконечная циклическая группа с порождающим элементом g . Тогда существует биективное отображение f : ℤ ® G такое, что для любых целых чисел k и m их образы f (k ) и f (m ), равные соответственно g k и g m , являются элементами G . И при этом f (k +m )=f (k )∘f (m ), поскольку g k + m =g k ∘ g m .

Пусть теперь (G , ∘) – конечная циклическая группа порядка n с порождающим элементом g . Тогда каждому элементу g k ÎG единственным способом можно сопоставить элемент e k ÎE n (0£k <n ), по правилу f (g k )=e k . И при этом для любых g k и g m ÎG следует, что f (g k ∘ g m )= f (g k ) ∘ f (g m ), поскольку f (g k ∘ g m )= f (g k + m )= f (g r ), где r =(k +m ) mod n , и f (g r )=e r =e k ×e m . Понятно, что такое сопоставление является биективным отображением.

1. Группа Z целых чисел с операцией сложения.
2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку циклический число изоморфизм

группа является циклической и элемент образующий.

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

3. Пусть - произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

действующее по формуле:

очевидно является гомоморфизмом и его образ совпадает с. Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .

В любой группе G могут быть определены степени элемента с целыми показателями:

Имеет место свойство

Это очевидно, если . Рассмотрим случай, когда . Тогда

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Из (6) следует, что

Кроме того, по определению. Таким образом, степени элемента образуют подгруппу в группе G. Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом, и обозначается через.

Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента различны, либо нет. В первом случае подгруппа бесконечна. Рассмотрим более подробно второй случай.

Пусть ,; тогда. Наименьшее из натуральных чисел т, для которых, называется в этом случае порядком элемента и обозначается через .

Предложение 1. Если , то

Доказательство . 1) Разделим m на п с остатком:

Тогда в силу определения порядка

В силу предыдущего

Следствие. Если, mo подгруппа содержит n элементов.

Доказательство. Действительно,

причем все перечисленные элементы различны.

В том случае, когда не существует такого натурального т, что (т.е. имеет место первый из описанных выше случаев), полагают. Отметим, что; порядки же всех остальных элементов группы больше 1.

В аддитивной группе говорят не о степенях элемента , а о его кратных, которые обозначают через . В соответствии с этим порядок элемента аддитивной группы G -- это наименьшее из натуральных чисел т (если такие существуют), для которых

ПРИМЕР 1. Характеристика поля есть порядок любого ненулевого элемента в его аддитивной группе.

ПРИМЕР 2 . Очевидно, что в конечной группе порядок любого элемента конечен. Покажем, как вычисляются порядки элементов группы Подстановка называется циклом длины и обозначается через если она циклически переставляет

а все остальные числа оставляет на месте. Очевидно, что порядок цикла длины равен р. Циклы и называются независимыми, если среди фактически переставляемых ими чисел нет общих; в этом случае . Всякая подстановка однозначно разлагается в произведение независимых циклов. Например,

что наглядно показано на рисунке, где действие подстановки изображено стрелками. Если подстановка разлагается в произведение независимых циклов длин , то

ПРИМЕР 3. Порядок комплексного числа с в группе конечен тогда и только тогда, когда это число есть корень некоторой степени из единицы, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда, a соизмерим с, т.е. .

ПРИМЕР 4. Найдем элементы конечного порядка в группе движений плоскости. Пусть. Для любой точки точки

циклически переставляются движением , так что их центр тяжести о неподвижен относительно. Следовательно, - либо поворот на угол вида вокруг точки о , либо отражение относительно некоторой прямой, проходящей через о .

ПРИМЕР 5 . Найдем порядок матрицы

как элемента группы. Имеем

так что. Конечно, этот пример специально подобран: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы будет конечен, равна нулю.

Предложение 2. Если , то

Доказательство. Пусть

так что. Имеем

Следовательно, .

Определение 1 . Группа G называется циклической, если существует такой элемент , что . Всякий такой элемент называется порождающим элементом группы G.

ПРИМЕР 6. Аддитивная группа целых чисел является циклической, так как порождается элементом 1.

ПРИМЕР 7. Аддитивная группа вычетов по модулю n является циклической, так как порождается элементом .

ПРИМЕР 8. Мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни суть числа

Ясно, что . Следовательно, группа порождается элементом.

Легко видеть, что в бесконечной циклической группе порождающими элементами являются только и. Так, в группе Z порождающими элементами являются только 1 и -- 1.

Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается через. Порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента. Поэтому из предложения 2 следует

Предложение 3 . Элемент циклической группы порядка n является порождающим тогда и только тогда, когда

ПРИМЕР 9. Порождающие элементы группы называются первообразными корнями n -й степени из 1. Это корни вида , где. Например, первообразные корни 12-й степени из 1- это.

Циклические группы -- это наиболее простые группы, которые можно себе представить. (В частности, они абелевы.) Следующая теорема дает их полное описание.

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе. Всякая конечная циклическая группа порядка п изоморфна группе.

Доказательство . Если -- бесконечная циклическая группа, то в силу формулы (4) отображение есть изоморфизм.

Пусть -- конечная циклическая группа порядка п. Рассмотрим отображение

то отображение корректно определено и биективно. Свойство

вытекает из той же формулы (1). Таким образом, -- изоморфизм.

Теорема доказана.

Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.

Теорема 2. 1) Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

2)В циклической группе порядка n порядок любой подгруппы делит n и для любого делителя q числа n существует ровно одна подгруппа порядка q.

Доказательство . 1) Пусть -- циклическая группа и Н -- ее подгруппа, отличная от (Единичная подгруппа, очевидно, является циклической.) Заметим, что если для какого-либо, то и . Пусть т -- наименьшее из натуральных чисел, для которых. Докажем, что . Пусть . Разделим к на т с остатком:

откуда в силу определения числа т следует, что и, значит,.

2) Если , то предыдущее рассуждение, примененное к (в этом случае ), показывает, что . При этом

и Н является единственной подгруппой порядка q в группе G. Обратно, если q -- любой делитель числа п и, то подмножество Н, определяемое равенством (9), является подгруппой порядка q. Теорема доказана.

Следствие . В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой.

ПРИМЕР 10. В группе всякая подгруппа имеет вид, где.

ПРИМЕР 11. В группе корней n-й степени из 1 любая подгруппа есть группа корней q- й степени из 1, где.

Смежные классы, теорема Лагранжа

Пусть H подгруппа группы G . Левым смежным классом элемента a по подгруппе H называется множество элементов ah , где h принадлежит H . Левый смежный класс обозначают aH . Аналогично вводится правый смежный класс элемента a по подгруппе H , который обозначают Ha .

Поскольку в подгруппе всегда имеется нейтральный элемент, то каждый элемент a содержится в смежном классе aH (Ha ).

Свойство 2.7. Элементы a и b принадлежат одному левому смежному классу по подгруппе H тогда и только тогда, когда

Доказательство . Если , то b =ah , и, значит, b принадлежит левому смежному классу aH . Обратно, пусть , тогда найдутся , что , и .

Теорема 2.2. Если левые (правые) смежные классы элементов a и b по подгруппе H имеют общий элемент, то они совпадают.

Доказательство . Пусть . Тогда найдутся , что . Произвольный элемент из левого смежного класса aH содержится в левом смежном классе bH. Действительно, для , и, следовательно, . Аналогично доказывается включение . Тем самым теорема доказана.

Следствие 2.1. Левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство очевидно.

Следствие 2.2. Левый (правый) смежный класс равномощен H.

Доказательство. Установим соответствие межу элементами подгруппы H и элементами смежного класса aH по формуле . Соответствие является взаимно однозначным. Тем самым утверждение доказано.

Теорема 2.3 (Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок ее подгруппы.

Доказательство . Пусть G – группа порядка n , а H - подгруппа G порядка k .Имеет место равенство . Удалим из правой части равенства повторяющиеся члены. В результате останутся не пересекающиеся смежные классы. Поскольку число элементов в смежном классе равно , то , где m количество различных смежных классов. Тем самым установлено равенство n =mk , что и требовалось.

Количество различных смежных классов называется индексом подгруппы H в группе G .

Множество элементов из группы G называется порождающим, если G получается замыканием этого множества относительно групповой операции.

Группа, порожденная одним элементом, называется циклической.

Следствие 2.3. Любая группа содержит циклическую подгруппу.

Доказательство. Пусть a –элемент группы G . Множество является циклической подгруппой.

Порядок циклической подгруппы, порожденной элементом a , называется порядком элемента.

Свойство 2.8. Если элемент a имеет порядок n , то a n =e .

Доказательство . Рассмотрим последовательность . Поскольку число членов в последовательности бесконечно, а для степеней элемента a существует конечное число возможностей, то в последовательности встретятся одинаковые члены. Пусть , где k <j и k первый повторяющийся член. Тогда , и значит, член k-j+ 1 повторяется. Следовательно, j =1 (иначе ). Таким образом, последовательность состоит из повторяющихся наборов вида и в ней k- 1 различных элементов. Следовательно, k =n +1. Так как , то .

Порядок любого элемента является делителем порядка группы, следовательно, a | G | =e для любого элемента группы.

Следствие 2.4. Порядок группы делится без остатка на порядок любого элемента группы.

Доказательство очевидно.

Теорема 2.4 (о циклических группах)

I. Для любого натурального n существует циклическая группа порядка n .

II. Циклические группы одинаковых порядков изоморфны между собой.

III. Циклическая группа бесконечного порядка изоморфна группе целых чисел.

IV. Любая подгруппа циклической группы циклическая.

V. Для каждого делителя m числа n (и только для них) в циклической группе n -го порядка существует единственная подгруппа порядка m .

Доказательство . Множество комплексных корней степени n из 1 относительно операции умножения образует циклическую группу порядка n . Тем самым первое утверждение доказано.

Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a , а циклическая группа H , того же порядка, порождена элементом b . Соответствие взаимно однозначное и сохраняет операцию. Второе утверждение доказано

Циклическая группа бесконечного порядка, порожденная элементом a, состоит из элементов . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Таким образом, третье утверждение доказано.

Пусть H – подгруппа циклической группы G , порожденной элементом a . Элементы H являются степенью a . Выберем в H a . Пусть это элемент . Покажем, что этот элемент является порождающим в подгруппе H . Возьмем произвольный элемент из H . Произведение содержится в H при любом r . Выберем r равным частному от деления k на j , тогда k-rj есть остаток от деления k на j и, значит, меньше j . Поскольку в H нет элементов, которые являются не нулевой степенью a, меньше чем j , то k-rj= 0, и . Четвертое утверждение доказано.

Пусть циклическая группа G порядка n порождена элементом a . Подгруппа, порожденная элементом , имеет порядок m . Рассмотрим подгруппу H порядка m . Выберем в H элемент, который является наименьшей по абсолютной величине ненулевой степенью a . Пусть это элемент . Покажем, что j=n /m. Элемент принадлежит H . Следовательно, отличное от нуля число вида rj-nv по абсолютной величине не меньше j , что возможно только если n делится на j без остатка. Подгруппа, порожденная , имеет порядок n /j =m , следовательно, j=n /m . Поскольку порождающий элемент подгруппы определяется однозначно по ее порядку, то пятое утверждение доказано.